10. Отрезок DK — биссектриса, отрезок DH — высота треугольника MDE, изображенного на рисунке, ∠MDE = 110°. Какова градусная мера угла KDH?

Решение:

Нам дан треугольник \( MDE \), где \( DK \) — биссектриса, \( DH \) — высота, и \( \angle MDE = 110^\circ \).

1. Свойства биссектрисы:

Биссектриса \( DK \) делит угол \( \angle MDE \) на два равных угла: \( \angle MDK = \angle KDE \).

\( \angle MDK = \angle KDE = \frac{\angle MDE}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ \).

2. Свойства высоты:

Высота \( DH \) перпендикулярна стороне \( ME \). Следовательно, \( \angle DHE = 90^\circ \) и \( \angle DHK = 90^\circ \) (если \( H \) лежит между \( K \) и \( E \)).

3. Найдем угол KDH:

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( DHE \). У нас есть \( \angle DEH = 40^\circ \) (из рисунка) и \( \angle DHE = 90^\circ \).

Сумма углов в треугольнике \( DHE \) равна \( 180^\circ \):

\( \angle EDH + \angle DEH + \angle DHE = 180^\circ \)

\( \angle EDH + 40^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

\( \angle EDH + 130^\circ = 180^\circ \)

\( \angle EDH = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).

Мы уже знаем, что \( \angle KDE = 55^\circ \) (из свойств биссектрисы). Угол \( \angle EDH \) — это угол \( \angle KDH + \angle KDE \) (если \( K \) между \( D \) и \( H \) или \( H \) между \( D \) и \( K \), то нам нужно проверить положение точек).

Исходя из рисунка, точка \( K \) находится между \( M \) и \( H \), а \( H \) — между \( K \) и \( E \). Значит, \( \angle KDE = \angle KDH + \angle HDE \) или \( \angle EDH = \angle EDK + \angle KDH \).

Мы нашли \( \angle KDE = 55^\circ \) и \( \angle EDH = 50^\circ \). Это означает, что \( K \) не лежит между \( D \) и \( H \) на луче \( DE \), а \( H \) лежит между \( D \) и \( K \).

Рассмотрим угол \( \angle KDE = 55^\circ \). Этот угол складывается из \( \angle KDH \) и \( \angle HDE \).

\( \angle KDE = \angle KDH + \angle HDE \)

\( 55^\circ = \angle KDH + 50^\circ \)

\( \angle KDH = 55^\circ - 50^\circ \)

\( \angle KDH = 5^\circ \).

Проверка:

\( \angle MDE = 110^\circ \)

\( \angle MDK = 55^\circ \)

\( \angle KDE = 55^\circ \)

В прямоугольном \( \triangle DHE \): \( \angle DEH = 40^\circ \), \( \angle DHE = 90^\circ \), \( \angle EDH = 180 - 90 - 40 = 50^\circ \).

\( \angle KDH = \angle KDE - \angle EDH = 55^\circ - 50^\circ = 5^\circ \).

Ответ: 5°