Задача 14.8. Камень бросают в глубокое ущелье. За первую секунду он пролетает 6 м, а за каждую следующую секунду на 10 м больше, чем за предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые 5 секунд?

Решение:

Расстояние, которое пролетает камень каждую секунду, образует арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии \( a_1 = 6 \) м (расстояние за первую секунду).

Разность прогрессии \( d = 10 \) м (каждую секунду расстояние увеличивается на 10 м).

Нам нужно найти сумму расстояний за первые 5 секунд, то есть \( S_5 \).

Сначала найдём расстояние, пройденное за 5-ю секунду: \( a_5 = a_1 + (5-1)d \).

\[ a_5 = 6 + (4)(10) = 6 + 40 = 46 \] м.

Теперь найдём сумму первых 5 членов прогрессии по формуле: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

\[ S_5 = \frac{6 + 46}{2} \cdot 5 = \frac{52}{2} \cdot 5 = 26 \cdot 5 = 130 \] м.

Ответ: 130 метров.