Задача 14.6. Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение:

Расстояние, пройденное автомобилем за каждую секунду, образует арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии \( a_1 = 20 \) м.

Разность прогрессии \( d = -4 \) м.

Автомобиль остановился, когда пройденное им расстояние за очередную секунду стало равно 0 или отрицательным. Чтобы найти, сколько всего метров прошёл автомобиль, нужно найти сумму всех положительных членов прогрессии.

Сначала найдём, в какую секунду автомобиль остановится. Для этого найдём \( n \), при котором \( a_n \le 0 \).

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

\[ 20 + (n-1)(-4) \le 0 \]

\[ 20 - 4n + 4 \le 0 \]

\[ 24 - 4n \le 0 \]

\[ 24 \le 4n \]

\[ n \ge 6 \]

Значит, автомобиль остановился после 6-й секунды. Нам нужно найти сумму первых 5 секунд (так как в 6-ю секунду он уже не проехал никакого расстояния, а скорее всего, остановился). Найдём \( a_5 \).

\[ a_5 = 20 + (5-1)(-4) = 20 + 4(-4) = 20 - 16 = 4 \] м.

Теперь найдём сумму первых 5 членов прогрессии: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

\[ S_5 = \frac{20 + 4}{2} \cdot 5 = \frac{24}{2} \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60 \] м.

Ответ: 60 метров.