Задача 14.3. В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Это арифметическая прогрессия, где первый член \( a_1 = 19 \) (мест в первом ряду) и разность \( d = 3 \) (увеличение мест в каждом следующем ряду).

Сначала найдём количество мест в последнем, 10-м ряду, по формуле n-го члена: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

\[ a_{10} = 19 + (10-1) \cdot 3 = 19 + 9 \cdot 3 = 19 + 27 = 46 \]

Теперь найдём сумму всех мест в 10 рядах по формуле суммы арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

\[ S_{10} = \frac{19 + 46}{2} \cdot 10 = \frac{65}{2} \cdot 10 = 65 \cdot 5 = 325 \]

Ответ: 325 мест.