Задача 14.2. В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Это арифметическая прогрессия. Обозначим количество мест в первом ряду как \( a_1 \) и разность как \( d \).

По условию задачи имеем:

\( a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d = 27 \)

\( a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d = 36 \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\[ (a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = 36 - 27 \]

\[ 3d = 9 \]

\[ d = 3 \]

Теперь найдём \( a_1 \), подставив \( d = 3 \) в первое уравнение:

\[ a_1 + 4 \cdot 3 = 27 \]

\[ a_1 + 12 = 27 \]

\[ a_1 = 27 - 12 = 15 \]

Найдём количество мест в последнем, 14-м ряду, по формуле \( a_n = a_1 + (n-1)d \):

\[ a_{14} = 15 + (14-1) \cdot 3 = 15 + 13 \cdot 3 = 15 + 39 = 54 \]

Ответ: 54 места.