Вариант 4. При каком значении а система уравнений \( \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ ax - 6y = -10 \end{cases} \) имеет бесконечно много решений?

Решение:

Система линейных уравнений \( \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \) имеет бесконечно много решений, если выполняется условие \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \).

В нашем случае:

• \( a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 5 \)
• \( a_2 = a, b_2 = -6, c_2 = -10 \)

Подставим эти значения в условие:

\( \frac{2}{a} = \frac{3}{-6} = \frac{5}{-10} \)

Упростим дроби:

\( \frac{2}{a} = -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \)

Из равенства \( \frac{2}{a} = -\frac{1}{2} \) найдем \( a \):

\( 2 \cdot 2 = a \cdot (-1) \) \( \Rightarrow \) \( 4 = -a \) \( \Rightarrow \) \( a = -4 \).

Проверим, что условие выполняется при \( a = -4 \): \( \frac{2}{-4} = \frac{3}{-6} = \frac{5}{-10} \) \( \Rightarrow \) \( -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \). Условие выполняется.

Ответ: \( a = -4 \).