1. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН – высота, АВ = 100, sin ∠A = 4 3. Найдите длину отрезка АН.

Ответ: 36

1. Рассмотрим треугольник АВС. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: \[\sin A = \frac{BC}{AB}\] По условию \(\sin A = \frac{4}{5}\), \(AB = 100\), тогда: \[\frac{4}{5} = \frac{BC}{100}\] Отсюда: \[BC = \frac{4 \cdot 100}{5} = 80\]
2. По теореме Пифагора найдем AC: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100^2 - 80^2} = \sqrt{10000 - 6400} = \sqrt{3600} = 60\]
3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. То есть: \[CH^2 = AH \cdot HB\] Также верно: \[AC^2 = AH \cdot AB\] Отсюда: \[AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{60^2}{100} = \frac{3600}{100} = 36\]

Ответ: 36