9. В треугольнике АВС АС = ВС, AB = 5, cos ∠BAC = 7/25. Найдите высоту АН.

Ответ: AH = 4.8

Разбираемся:

1. Треугольник АВС равнобедренный (АС = ВС), АН - высота.
2. АВ = 5, \(\cos \angle BAC = \frac{7}{25}\)
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. В нем:
   • АВ - гипотенуза (АВ = 5)
   • АН - катет (высота)
   • ВН - катет
4. Определим косинус угла ВАH: \[\cos \angle BAH = \frac{AH}{AB}\]
5. Выразим АH: \[AH = AB \cdot \cos \angle BAH = 5 \cdot \frac{7}{25} = \frac{7}{5} = 1.4\]
6. Так как треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны, следовательно, \(\angle BAC = \angle ABC\).
7. Чтобы найти высоту AH, сначала найдем BH, используя косинус угла B:\[\cos B = \frac{BH}{AB}\]\[BH = AB \cdot \cos B = 5 \cdot \frac{7}{25} = \frac{7}{5} = 1.4\]
8. В прямоугольном треугольнике ABH, по теореме Пифагора:\[AB^2 = AH^2 + BH^2\]\[AH^2 = AB^2 - BH^2 = 5^2 - (1.4)^2 = 25 - 1.96 = 23.04\]\[AH = \sqrt{23.04} = 4.8\]

Ответ: AH = 4.8