14. В треугольнике АВС АС = BC, AB = 8, cosA = 0,5. Найдите АС.

• Рассмотрим треугольник ABC, в котором AC = BC, AB = 8, cosA = 0,5.
• Так как AC = BC, то треугольник ABC равнобедренный с основанием AB.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠A = ∠B.
• Используем теорему косинусов для треугольника ABC:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cosC\]

• Пусть AC = BC = x. Тогда:

\[8^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot cosC\] \[64 = 2x^2 - 2x^2 \cdot cosC\]

• Нам нужно найти cosC. Мы знаем, что cosA = 0,5.
• Так как ∠A = ∠B, то cosB = 0,5.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, ∠C = 180° - ∠A - ∠B.
• Тогда cosC = cos(180° - ∠A - ∠B) = -cos(∠A + ∠B).

Показать решение

• Используем формулу косинуса суммы:
• cos(∠A + ∠B) = cosA \cdot cosB - sinA \cdot sinB
• Мы знаем, что cosA = cosB = 0,5. Найдем sinA и sinB:
• sinA = √(1 - cos²A) = √(1 - 0,5²) = √(1 - 0,25) = √0,75 = √(3/4) = √3/2
• sinB = √(1 - cos²B) = √(1 - 0,5²) = √3/2
• Тогда cos(∠A + ∠B) = 0,5 \cdot 0,5 - (√3/2) \cdot (√3/2) = 0,25 - 3/4 = 0,25 - 0,75 = -0,5
• cosC = -cos(∠A + ∠B) = -(-0,5) = 0,5

• Теперь мы можем найти x:

\[64 = 2x^2 - 2x^2 \cdot 0,5\] \[64 = 2x^2 - x^2\] \[64 = x^2\] \[x = \sqrt{64} = 8\]

• Следовательно, AC = BC = 8.