6. В треугольнике АВС АС = BC, AB = 8, tgA = 33/(4√33). Найдите АС.

Ответ: AC = 7

Разбираемся:

1. В треугольнике АВС, АС = ВС, АВ = 8, \(\tg A = \frac{33}{4\sqrt{33}}\)
2. Так как АС = ВС, треугольник равнобедренный. Значит, углы при основании А и В равны.
3. Преобразуем тангенс угла A:\[\tg A = \frac{33}{4\sqrt{33}} = \frac{\sqrt{33}}{4}\]
4. Обозначим сторону AC = x, тогда BC = x.
5. Используем теорему косинусов для угла A:\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\]
6. Так как AC = BC, можем выразить косинус угла C через косинус угла A. Угол C = 180 - 2A, следовательно:\[\cos C = \cos(180 - 2A) = -\cos(2A) = -(\cos^2 A - \sin^2 A) = \sin^2 A - \cos^2 A\]
7. Найдем синус и косинус угла A через тангенс:\[\sin A = \frac{\tg A}{\sqrt{1 + \tg^2 A}} = \frac{\frac{\sqrt{33}}{4}}{\sqrt{1 + \frac{33}{16}}} = \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{33}}{7}\]\[\cos A = \frac{1}{\sqrt{1 + \tg^2 A}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{33}{16}}} = \frac{4}{\sqrt{49}} = \frac{4}{7}\]
8. Подставим синус и косинус в выражение для косинуса угла C:\[\cos C = \sin^2 A - \cos^2 A = \left(\frac{\sqrt{33}}{7}\right)^2 - \left(\frac{4}{7}\right)^2 = \frac{33}{49} - \frac{16}{49} = \frac{17}{49}\]
9. Теперь можем применить теорему косинусов для стороны AB:\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\]\[8^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \frac{17}{49}\]\[64 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \frac{17}{49}\]\[64 = 2x^2 \left(1 - \frac{17}{49}\right)\]\[64 = 2x^2 \left(\frac{32}{49}\right)\]\[x^2 = \frac{64 \cdot 49}{2 \cdot 32} = \frac{64 \cdot 49}{64} = 49\]\[x = \sqrt{49} = 7\]

Ответ: AC = 7