2. В треугольнике АВС АС = BC, AB = 9,6, sinA = 7/25. Найдите АС.

Ответ: AC = 5

Разбираемся:

1. Применим теорему синусов:\[\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\]
2. Из условия задачи AC = BC, значит треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании равны: \(\angle A = \angle B\).
3. Дано \(\sin A = \frac{7}{25}\), AB = 9.6
4. Найдем \(\sin C\). Сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому \(\angle C = 180^\circ - 2\angle A\).\[\sin C = \sin(180^\circ - 2A) = \sin(2A) = 2\sin A \cos A\]
5. Найдем \(\cos A\). Из основного тригонометрического тождества:\(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)\[\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}\]
6. Подставим найденные значения в формулу для \(\sin C\):\[\sin C = 2 \cdot \frac{7}{25} \cdot \frac{24}{25} = \frac{336}{625}\]
7. Теперь применим теорему синусов, чтобы найти AC:\[\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A}\]\[AC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{9.6 \cdot \frac{7}{25}}{\frac{336}{625}} = \frac{9.6 \cdot 7 \cdot 625}{25 \cdot 336} = \frac{42000}{8400} = 5\]

Ответ: AC = 5