8. В треугольнике АВС АС = BC, AH — высота, АВ = 5, sin BAC = 7/25. Найдите ВН.

Ответ: BH = 4.8

Разбираемся:

1. Треугольник ABC равнобедренный, так как AC = BC.
2. AH - высота, следовательно, треугольник ABH прямоугольный.
3. AB = 5, \(\sin \angle BAC = \frac{7}{25}\).
4. \(\angle BAC = \angle ABC\), так как треугольник ABC равнобедренный.
5. Найдем \(\cos \angle BAC\) по основному тригонометрическому тождеству:\[\cos^2 \angle BAC + \sin^2 \angle BAC = 1\]\[\cos \angle BAC = \sqrt{1 - \sin^2 \angle BAC} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}\]
6. В прямоугольном треугольнике ABH, косинус угла B равен отношению прилежащего катета BH к гипотенузе AB:\[\cos B = \frac{BH}{AB}\]
7. Подставим значения:\[\frac{24}{25} = \frac{BH}{5}\]
8. Найдем BH:\[BH = \frac{24}{25} \cdot 5 = \frac{24}{5} = 4.8\]

Ответ: BH = 4.8