5. В треугольнике АВС АС = BC = 7, tgA= 33/(4√33). Найдите АВ.

Ответ: AB = 7

Разбираемся:

1. Так как AC = BC = 7, треугольник ABC равнобедренный.
2. Дано \(\tg A = \frac{33}{4\sqrt{33}}\)
3. Преобразуем тангенс:\[\tg A = \frac{33}{4\sqrt{33}} = \frac{\sqrt{33}}{4}\]
4. Угол A равен углу B, так как треугольник равнобедренный.
5. Найдем угол A, используя арктангенс:\[A = \arctan\left(\frac{\sqrt{33}}{4}\right)\]
6. Чтобы найти AB, рассмотрим два случая:
   • Если угол A острый, то угол C также будет острым.
   • Если угол A прямой или тупой, то сумма углов A и B будет больше 180, что невозможно.
7. Теперь используем теорему косинусов:\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\]
8. Так как AC = BC = 7:\[AB^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \cos C\]
9. Выразим \(\cos C\) через \(\tg A\). Так как \(A = B\), то \(C = 180 - 2A\).\[\cos C = \cos(180 - 2A) = -\cos(2A) = -(\cos^2 A - \sin^2 A)\]
10. Найдём \(\sin A\) и \(\cos A\) через \(\tg A\):\[\sin A = \frac{\tg A}{\sqrt{1 + \tg^2 A}} = \frac{\frac{\sqrt{33}}{4}}{\sqrt{1 + \frac{33}{16}}} = \frac{\frac{\sqrt{33}}{4}}{\sqrt{\frac{49}{16}}} = \frac{\sqrt{33}}{7}\]\[\cos A = \frac{1}{\sqrt{1 + \tg^2 A}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{33}{16}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{49}{16}}} = \frac{4}{7}\]
11. Подставим \(\sin A\) и \(\cos A\) в выражение для \(\cos C\):\[\cos C = -\left(\left(\frac{4}{7}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{33}}{7}\right)^2\right) = -\left(\frac{16}{49} - \frac{33}{49}\right) = -\left(-\frac{17}{49}\right) = \frac{17}{49}\]
12. Подставим \(\cos C\) в выражение для \(AB^2\):\[AB^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \frac{17}{49} = 49 + 49 - 2 \cdot 49 \cdot \frac{17}{49} = 98 - 34 = 64\]
13. Извлечем корень:\[AB = \sqrt{49} = 7\]

Ответ: AB = 7