В равнобедренном треугольнике один из внешних углов равен 60°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 5 см. Найдите основание треугольника.

Решение:

1. Если внешний угол равен 60°, то смежный с ним внутренний угол равен \( 180° - 60° = 120° \).
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Возможны два случая:
3. Случай 1: Угол при вершине равен 120°. Тогда углы при основании равны \( \frac{180° - 120°}{2} = 30° \).
4. Случай 2: Один из углов при основании равен 120°. Это невозможно, так как сумма углов в треугольнике равна 180°, и углы при основании должны быть острыми.
5. Итак, углы треугольника равны 30°, 30°, 120°.
6. Пусть треугольник ABC равнобедренный с углами A = 30°, B = 30°, C = 120°. Стороны AC = BC. Проведём высоту BH к боковой стороне AC. BH = 5 см.
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Угол C = 120°, угол BHC = 90°. Угол HBC = \( 180° - 90° - (180° - 120°) \) = \( 180° - 90° - 60° = 30° \).
8. В прямоугольном треугольнике BHC: \( \frac{BH}{BC} = \sin(120°) \) или \( \frac{BH}{AC} = \sin(120°) \).
9. \( \frac{5}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
10. \( AC = \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) см.
11. Основание треугольника — это сторона AB.
12. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол A = 30°, угол AHB = 90°.
13. \( \frac{AH}{BH} = \tan(30°) \)
14. \( AH = BH \cdot \tan(30°) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \) см.
15. Так как треугольник равнобедренный, высота BH делит сторону AC. Не совсем ясно, к какой боковой стороне проведена высота. Предположим, что высота проведена к одной из равных сторон, например, к AC.
16. Рассмотрим случай, когда внешний угол при основании равен 60°. Тогда внутренний угол при основании равен 120°, что невозможно.
17. Значит, внешний угол при вершине равен 60°. Тогда внутренний угол при вершине равен 120°. Углы при основании по 30°.
18. Пусть боковые стороны равны \( b \), а основание \( a \).
19. Проведем высоту \( h_b = 5 \) к боковой стороне \( b \). Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} b \cdot h_b = \frac{1}{2} b · 5 = 2,5b \).
20. Также площадь треугольника можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2} a \cdot h_a \) или \( S = \frac{1}{2} ab \sin(30°) \) (если \( a \) - основание, \( b \) - боковая сторона).
21. \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \frac{1}{2} = \frac{ab}{4} \).
22. Значит, \( 2,5b = \frac{ab}{4} \). \( \frac{5}{2} b = \frac{ab}{4} \). \( 10b = ab \). Так как \( b \neq 0 \), то \( a = 10 \).
23. Проверим, правильно ли мы выбрали углы. Если основание \( a = 10 \), боковые стороны \( b = \frac{10\sqrt{3}}{3} \).
24. Углы при основании \( 30° \). Угол при вершине \( 120° \). Внешний угол при вершине \( 180° - 120° = 60° \). Это соответствует условию.

Ответ: 10 см