437. В прямоугольном треугольнике найдите неизвестные стороны, если: а) катеты относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 45 см; б) высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу имеет длину 16 см.

а) Дано: катеты относятся как 3:4, гипотенуза равна 45 см.

Решение:

• Пусть катеты равны 3x и 4x. По теореме Пифагора:

\[(3x)^2 + (4x)^2 = 45^2\] \[9x^2 + 16x^2 = 2025\] \[25x^2 = 2025\] \[x^2 = 81\] \[x = 9\]

• Катеты равны 3 * 9 = 27 см и 4 * 9 = 36 см.

б) Дано: высота к гипотенузе равна 12 см, проекция одного из катетов на гипотенузу равна 16 см.

Решение:

• Пусть высота равна h = 12 см, проекция катета равна p = 16 см.
• По свойству высоты в прямоугольном треугольнике: h² = p * q, где q - проекция второго катета.

\[12^2 = 16 \cdot q\] \[144 = 16q\] \[q = \frac{144}{16} = 9\]

• Гипотенуза равна p + q = 16 + 9 = 25 см.
• Катет, проекция которого известна, равен:

\[b = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\]

• Второй катет равен:

\[a = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\]

Неизвестные стороны: 15 см.