8. Тип 15 № 323344 L Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник с площадью $$S = 32\sqrt{3}$$ и углом $$30°$$.

2) Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b $$

3) Пусть катет, лежащий против угла 30° равен $$a$$, тогда второй катет равен $$b = a \cdot ctg30° = a \cdot \sqrt{3}$$.

4) Выразим площадь через катет $$a$$:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} $$

5) Выразим $$a^2$$:

$$ a^2 = \frac{2S}{\sqrt{3}} $$

6) Подставим значение площади:

$$ a^2 = \frac{2 \cdot 32\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 64\Rightarrow a = 8 $$

7) Тогда катет $$b = 8\sqrt{3}$$.

8) Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:

$$ c^2 = a^2 + b^2 = 8^2 + (8\sqrt{3})^2 = 64 + 64 \cdot 3 = 64 + 192 = 256\Rightarrow c = \sqrt{256} = 16 $$

Ответ: 16