11. Тип 15 № 339370 i В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin ∠A =3, AC = 9. Найди- те АВ.

1) Рассмотрим треугольник ABC, угол C = 90°, $$sin∠A = \frac{4}{5}$$, AC = 9.

2) Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть

$$ sinA = \frac{BC}{AB} $$

3) Рассмотрим косинус острого угла А

$$ cosA = \frac{AC}{AB} $$

4) Выразим AB

$$ AB = \frac{AC}{cosA} $$

5) Выразим $$cosA$$ через $$sinA$$:

$$ cos^2A + sin^2A = 1\Rightarrow cosA = \sqrt{1 - sin^2A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $$

6) Найдем АВ:

$$ AB = \frac{9}{\frac{3}{5}} = 9 \cdot \frac{5}{3} = 3 \cdot 5 = 15 $$

Ответ: 15