Постройте прямоугольный треугольник по сумме катета и гипотенузы и углу, противолежащему второму катету.

Решение:

Пусть даны сумма катета $$a$$ и гипотенузы $$c$$ ($$a+c = S$$) и угол $$\alpha$$, противолежащий катету $$b$$.

1. Построим угол $$\alpha$$.
2. На одной из сторон угла отложим отрезок $$b$$.
3. На другой стороне угла отложим отрезок $$c$$.
4. У нас есть треугольник с углом $$\alpha$$, противолежащим стороне $$b$$, и стороной $$c$$.
5. Из условия $$a+c = S$$, мы можем выразить $$a = S - c$$.
6. В прямоугольном треугольнике $$a = c \text{sin}(\alpha)$$ и $$b = c \text{cos}(\alpha)$$.
7. Подставим $$a$$: $$S - c = c \text{sin}(\alpha)$$, откуда $$S = c(1 + \text{sin}(\alpha))$$, следовательно $$c = \frac{S}{1 + \text{sin}(\alpha)}$$.
8. Зная $$c$$, можем найти $$a = S - c$$ и $$b = c \text{cos}(\alpha)$$.
9. Построим треугольник по трём сторонам: $$a$$, $$b$$, $$c$$.