84. Прямая l пересекает стороны угла АВС. Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии 2 см от прямой l. Сколько решений может иметь задача?

Решение:

Точки, равноудалённые от сторон угла ABC, лежат на биссектрисе угла ABC.

Точки, находящиеся на расстоянии 2 см от прямой l, лежат на двух прямых, параллельных l, по обе стороны от неё.

Искомые точки являются пересечением биссектрисы угла ABC с этими двумя параллельными прямыми.

Биссектриса — это луч. Две параллельные прямые могут:

• Пересекать луч в двух точках (если они расположены по обе стороны от прямой, содержащей биссектрису, и расстояние до них позволяет пересечь луч).
• Пересекать луч в одной точке (если одна из параллельных прямых совпадает с биссектрисой, что маловероятно, или если одна из прямых пересекает луч, а другая — нет).
• Не пересекать луч вовсе (если параллельные прямые расположены так, что не затрагивают луч).

В зависимости от положения прямой l относительно угла и точки B, количество решений может быть различным.

Возможны случаи:

• Две параллельные прямые пересекают луч биссектрисы в двух точках (2 решения).
• Одна из параллельных прямых пересекает луч, а другая — нет (1 решение).
• Ни одна из параллельных прямых не пересекает луч (0 решений).

Ответ: 0, 1 или 2 решения.