Дано: ∠AOB = 46°, ∠BOC = 85°. Найти: ∠AOC.

Решение:

Лучи ОА, ОВ и ОС исходят из одной точки О.

Возможны два случая расположения лучей:

1. Луч ОВ находится между лучами ОА и ОС. Тогда \( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC \).
2. Луч ОС находится между лучами ОА и ОВ. Тогда \( \angle AOB = \angle AOC + \angle COB \) → \( \angle AOC = \angle AOB - \angle COB \).
3. Луч ОА находится между лучами ОВ и ОС. Тогда \( \angle BOC = \angle BOA + \angle AOC \) → \( \angle AOC = \angle BOC - \angle BOA \). Этот случай невозможен, так как \( \angle BOC < \angle BOA \) по условию.

Случай 1:

\( \angle AOC = 46^{\circ} + 85^{\circ} = 131^{\circ} \).

Случай 2:

\( \angle AOC = 46^{\circ} - 85^{\circ} \). Этот случай невозможен, так как угол не может быть отрицательным.

Случай 3 (пересмотренный):

Если луч ОА находится между лучами ОВ и ОС. Тогда \( \angle BOC = \angle BOA + \angle AOC \). \( 85^{\circ} = 46^{\circ} + \angle AOC \) → \( \angle AOC = 85^{\circ} - 46^{\circ} = 39^{\circ} \).

Ответ: ∠AOC = 131° или ∠AOC = 39°.