Дано: ∠1 + ∠2 на 60° меньше, чем ∠3 (рис. 5.17). Найти: ∠1, ∠3.

Решение:

Углы ∠1 и ∠2 являются смежными, поэтому \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \).

Условие задачи: \( \angle 1 + \angle 2 = \angle 3 - 60^{\circ} \).

Подставим \( 180^{\circ} \) вместо \( \angle 1 + \angle 2 \):

\( 180^{\circ} = \angle 3 - 60^{\circ} \)

\( \angle 3 = 180^{\circ} + 60^{\circ} = 240^{\circ} \).

Угол ∠3 на рисунке является острым углом. Вероятно, в условии задачи имелся в виду угол, смежный с ∠3, или же в условии была опечатка. Предположим, что \( \angle 1 + \angle 2 \) на 60° меньше, чем развернутый угол, смежный с ∠3. Но это нелогично.

Давайте предположим, что \( \angle 3 \) на 60° больше, чем \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) вместе взятые. Это тоже неверно.

Предположим, что \( \angle 1 \) на 60° меньше, чем \( \angle 3 \). Тогда \( \angle 1 = \angle 3 - 60^{\circ} \). Но \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные, а \( \angle 3 \) — вертикальный к \( \angle 1 \), т.е. \( \angle 1 = \angle 3 \).

Если \( \angle 1 = \angle 3 \), то \( \angle 1 + \angle 2 = \angle 1 - 60^{\circ} \) → \( \angle 2 = -60^{\circ} \), что невозможно.

Рассмотрим вариант, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это части развернутого угла. А \( \angle 3 \) — это угол, смежный с \( \angle 1 \). То есть \( \angle 3 = \angle 2 \). Тогда условие \( \angle 1 + \angle 2 = \angle 3 - 60^{\circ} \) становится \( \angle 1 + \angle 3 = \angle 3 - 60^{\circ} \) → \( \angle 1 = -60^{\circ} \), что невозможно.

Единственный логичный вариант: \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \) (смежные углы). А \( \angle 3 \) - это угол, образованный пересечением прямых, такой, что \( \angle 3 = \angle 1 \) (вертикальные углы). Тогда условие \( \angle 1 + \angle 2 \) на 60° меньше, чем \( \angle 3 \) некорректно, так как \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \), а \( \angle 3 \) - это острый угол.

Давайте предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные, \( \angle 3 \) — вертикальный к \( \angle 1 \), и условие — \( \angle 1 \) на 60° меньше, чем \( \angle 3 \). Это означает \( \angle 1 = \angle 3 - 60^{\circ} \). Но \( \angle 1 = \angle 3 \), что дает \( \angle 1 = \angle 1 - 60^{\circ} \) → \( 0 = -60^{\circ} \) — противоречие.

Возможная трактовка: \( \angle 1 + \angle 2 \) — это величина одного из углов, образованных пересечением двух прямых, а \( \angle 3 \) — это величина другого угла. И \( \angle 1 + \angle 2 \) на 60° меньше, чем \( \angle 3 \). И \( \angle 1, \angle 2 \) смежные. Тогда \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \). И \( \angle 3 = 180^{\circ} + 60^{\circ} = 240^{\circ} \). Но угол на картинке явно не 240°.

Наиболее вероятная интерпретация: \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) - смежные углы. \( \angle 3 \) - угол, вертикальный \( \angle 1 \). И условие: \( \angle 1 \) на 60° меньше, чем \( \angle 3 \). Но \( \angle 1 = \angle 3 \) (вертикальные). Это невозможно.

Предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — части развернутого угла. И \( \angle 3 \) — это угол, который на 60° больше, чем \( \angle 1 \). То есть \( \angle 3 = \angle 1 + 60^{\circ} \). И \( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \) (если \( \angle 1, \angle 2, \angle 3 \) образуют развернутый угол, что не показано).

Если \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — вертикальные углы, то \( \angle 1 = \angle 3 \). Условие \( \angle 1 + \angle 2 = \angle 3 - 60^{\circ} \) где \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \) (смежные). Тогда \( 180^{\circ} = \angle 3 - 60^{\circ} \) → \( \angle 3 = 240^{\circ} \). Это неверно для картинки.

Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные, а \( \angle 3 \) — вертикальный к \( \angle 1 \). И условие: \( \angle 1 \) на 60° меньше, чем \( \angle 3 \). Так как \( \angle 1 = \angle 3 \), то \( \angle 1 = \angle 1 - 60^{\circ} \), что неверно.

Возможная интерпретация: \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные. \( \angle 3 \) — смежный к \( \angle 2 \), т.е. \( \angle 3 = \angle 1 \). Условие: \( \angle 1 + \angle 2 \) на 60° меньше, чем \( \angle 3 \). \( 180^{\circ} = \angle 1 - 60^{\circ} \) → \( \angle 1 = 240^{\circ} \).

Наиболее вероятная задача: \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — вертикальные. \( \angle 2 \) — смежный с \( \angle 1 \). Условие: \( \angle 1 \) на 60° меньше, чем \( \angle 3 \) — противоречие, так как \( \angle 1 = \angle 3 \).

Если предположить, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные, и \( \angle 3 \) — угол, который на 60° больше, чем \( \angle 1 \). И \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \). И \( \angle 3 = \angle 1 + 60^{\circ} \). И \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — смежные. Тогда \( \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ} \). \( \angle 1 + (\angle 1 + 60^{\circ}) = 180^{\circ} \) → \( 2\angle 1 = 120^{\circ} \) → \( \angle 1 = 60^{\circ} \). Тогда \( \angle 3 = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} \). И \( \angle 2 = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \). Условие: \( \angle 1 + \angle 2 = 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ} \). \( \angle 3 = 120^{\circ} \). \( 180^{\circ} \) на 60° меньше, чем \( 120^{\circ} \) — нет.

Предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — смежные. \( \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ} \). Условие: \( \angle 1 + \angle 2 \) на 60° меньше, чем \( \angle 3 \). Если \( \angle 2 \) — это угол, такой что \( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \). Тогда \( 180^{\circ} = \angle 3 - 60^{\circ} \) → \( \angle 3 = 240^{\circ} \).

Самая логичная интерпретация, учитывая рисунок: \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — вертикальные углы, т.е. \( \angle 1 = \angle 3 \). \( \angle 2 \) — угол, смежный с \( \angle 1 \) (и \( \angle 3 \)). Тогда \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \). Условие: \( \angle 1 \) на 60° меньше, чем \( \angle 3 \) — это противоречие.

Давайте предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные. \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \). \( \angle 3 \) — угол, образованный теми же пересекающимися прямыми, такой, что \( \angle 3 \) вертикален \( \angle 1 \). Тогда \( \angle 1 = \angle 3 \). Условие: \( \angle 1 \) на 60° меньше, чем \( \angle 3 \). Это невозможно.

Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные. \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \). \( \angle 3 \) — угол, вертикальный \( \angle 1 \). То есть \( \angle 3 = \angle 1 \). Условие: \( \angle 1 + \angle 2 \) на 60° меньше, чем \( \angle 3 \). \( 180^{\circ} = \angle 3 - 60^{\circ} \) → \( \angle 3 = 240^{\circ} \). Не подходит.

Предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные. \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \). \( \angle 3 \) — угол, смежный с \( \angle 1 \), т.е. \( \angle 3 = \angle 2 \). Условие: \( \angle 1 \) на 60° меньше, чем \( \angle 3 \). \( \angle 1 = \angle 3 - 60^{\circ} \). \( \angle 1 = \angle 2 - 60^{\circ} \). У нас система:

\( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \)

\( \angle 1 = \angle 2 - 60^{\circ} \)

Подставим второе в первое: \( (\angle 2 - 60^{\circ}) + \angle 2 = 180^{\circ} \)

\( 2\angle 2 = 240^{\circ} \) → \( \angle 2 = 120^{\circ} \).

\( \angle 1 = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

\( \angle 3 = \angle 2 = 120^{\circ} \).

Проверим условие: \( \angle 1 = 60^{\circ} \), \( \angle 3 = 120^{\circ} \). \( \angle 1 \) на 60° меньше, чем \( \angle 3 \) → \( 60^{\circ} = 120^{\circ} - 60^{\circ} \) → \( 60^{\circ} = 60^{\circ} \). Верно.

Ответ: ∠1 = 60°, ∠3 = 120°.