Дано: ∠2 - ∠1 = 38° (рис. 5.18). Найти: ∠3, ∠4.

Решение:

Углы ∠1 и ∠2 являются смежными, поэтому \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \).

Углы ∠3 и ∠1 являются вертикальными, поэтому \( \angle 3 = \angle 1 \).

Углы ∠4 и ∠2 являются вертикальными, поэтому \( \angle 4 = \angle 2 \).

Дано: \( \angle 2 - \angle 1 = 38^{\circ} \) → \( \angle 2 = \angle 1 + 38^{\circ} \).

Подставим \( \angle 2 \) в уравнение \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \):

\( \angle 1 + (\angle 1 + 38^{\circ}) = 180^{\circ} \)

\( 2\angle 1 + 38^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2\angle 1 = 180^{\circ} - 38^{\circ} \)

\( 2\angle 1 = 142^{\circ} \)

\( \angle 1 = \frac{142^{\circ}}{2} = 71^{\circ} \).

Теперь найдём \( \angle 2 \):

\( \angle 2 = \angle 1 + 38^{\circ} = 71^{\circ} + 38^{\circ} = 109^{\circ} \).

Так как \( \angle 3 = \angle 1 \) и \( \angle 4 = \angle 2 \), то:

\( \angle 3 = 71^{\circ} \)

\( \angle 4 = 109^{\circ} \).

Проверка: \( \angle 1 + \angle 2 = 71^{\circ} + 109^{\circ} = 180^{\circ} \). \( \angle 2 - \angle 1 = 109^{\circ} - 71^{\circ} = 38^{\circ} \).

Ответ: ∠3 = 71°, ∠4 = 109°.