Часть 2. Письменно оформите решение с подробными пояснениями (для классов с углубленным изучением математики) 1. Пусть x, и x₂ — корни уравнения x² + 2x - 11 = 0. Запишите квадратное уравнение, корнями которого были бы числа 1/x, и 1/x₂.

Решение:

Дано квадратное уравнение \( x^2 + 2x - 11 = 0 \). По теореме Виета для этого уравнения:

• Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2 \).
• Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-11}{1} = -11 \).

Пусть новые корни — \( y_1 = \frac{1}{x_1} \) и \( y_2 = \frac{1}{x_2} \).

Нам нужно составить новое квадратное уравнение вида \( y^2 + py + q = 0 \), где \( p = -(y_1 + y_2) \) и \( q = y_1 \cdot y_2 \).

1. Найдем сумму новых корней \( y_1 + y_2 \):

\( y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2} = \frac{-2}{-11} = \frac{2}{11} \).

2. Найдем произведение новых корней \( y_1 \cdot y_2 \):

\( y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1 \cdot x_2} = \frac{1}{-11} = -\frac{1}{11} \).

3. Составим новое квадратное уравнение:

\( y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0 \)

\( y^2 - \frac{2}{11}y - \frac{1}{11} = 0 \).

Умножим всё уравнение на 11, чтобы избавиться от дробей:

\( 11y^2 - 2y - 1 = 0 \).

Ответ: Квадратное уравнение с корнями 1/x₁ и 1/x₂: 11y² - 2y - 1 = 0.