32. Решите задачу: Мотоциклист проехал 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на путь на 20 мин больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.

Решение:

Пусть \( v \) — первоначальная скорость мотоциклиста (км/ч).

Расстояние \( S = 40 \) км.

Время в пути от А до В: \( t_1 = \frac{S}{v} = \frac{40}{v} \) (ч).

Скорость обратно: \( v - 10 \) км/ч.

Время в пути обратно: \( t_2 = \frac{S}{v - 10} = \frac{40}{v - 10} \) (ч).

По условию, время в пути обратно на 20 минут больше. Переведём 20 минут в часы: \( 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \) ч.

Составим уравнение:

\( t_2 = t_1 + \frac{1}{3} \)

\( \frac{40}{v - 10} = \frac{40}{v} + \frac{1}{3} \)

Приведём к общему знаменателю \( 3v(v - 10) \):

\( 40 \cdot 3v = 40 \cdot 3(v - 10) + 1 \cdot v(v - 10) \)

\( 120v = 120(v - 10) + v^2 - 10v \)

\( 120v = 120v - 1200 + v^2 - 10v \)

\( 0 = v^2 - 10v - 1200 \)

Решим квадратное уравнение \( v^2 - 10v - 1200 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\( a = 1 \), \( b = -10 \), \( c = -1200 \).

\( D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{4900} = 70 \).

Найдем корни:

\( v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 70}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40 \).

\( v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 70}{2 \cdot 1} = \frac{-60}{2} = -30 \).

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v = 40 \) км/ч.

Ответ: Первоначальная скорость мотоциклиста 40 км/ч.