9) Решите неравенство \( \frac{6x-2}{(x-1)(x+2)} \le 0 \). (1 балл)

Решение:

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдём корни числителя и знаменателя.
• Числитель: \( 6x - 2 = 0 \implies 6x = 2 \implies x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
• Знаменатель: \( (x-1)(x+2) = 0 \implies x = 1 \) или \( x = -2 \).
2. Отметим корни на числовой оси: -2, 1/3, 1.
3. Расставим знаки интервалов, начиная с правого (для \( x \to \infty \), дробь положительна):
• \( x > 1 \): \( + \)
• \( \frac{1}{3} < x < 1 \): \( - \)
• \( -2 < x < \frac{1}{3} \): \( + \)
• \( x < -2 \): \( - \)
4. Нам нужно \( \le 0 \), значит, выбираем интервалы со знаком минус.
5. \( x \in (-\infty; -2) \cup [\frac{1}{3}; 1) \).
6. Обратите внимание: \( x = 1 \) и \( x = -2 \) не входят в решение, так как на них знаменатель обращается в ноль. \( x = \frac{1}{3} \) входит в решение, так как числитель обращается в ноль, а знаменатель — нет.

Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup [\frac{1}{3}; 1) \).