15) Укажите область определения функции \( y = \log_{0.3} (6x - 3x^2) \). (3 балла)

Решение:

Область определения логарифмической функции определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

1. \( 6x - 3x^2 > 0 \).
2. Вынесем общий множитель \( 3x \): \( 3x(2 - x) > 0 \).
3. Решим неравенство методом интервалов. Корни: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
4. Расставим знаки на интервалах:
• \( x > 2 \): \( + \cdot - = - \)
• \( 0 < x < 2 \): \( + \cdot + = + \)
• \( x < 0 \): \( - \cdot + = - \)
5. Нам нужно \( > 0 \), поэтому выбираем интервал, где знак плюс.
6. \( x \in (0; 2) \).

Ответ: \( x \in (0; 2) \).