7) Найти корень уравнения $ \sqrt{64 - 3x^2} = -x $. (2 балла)

Question

$Фото задания: 7) Найти корень уравнения $ \sqrt{64 - 3x^2} = -x $. (2 балла)$ Фото задания

Accepted Answer

Возведём обе части уравнения в квадрат: $ 64 - 3x^2 = (-x)^2 $.
$ 64 - 3x^2 = x^2 $.
Перенесём члены уравнения: $ 4x^2 = 64 $.
$ x^2 = \frac{64}{4} = 16 $.
$ x = \pm \sqrt{16} $, то есть $ x = 4 $ или $ x = -4 $.
Проверим корни, подставив их в исходное уравнение.
При $ x = 4 $: $ \sqrt{64 - 3(4)^2} = \sqrt{64 - 3(16)} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4 $. Правая часть: $ -x = -4 $. $ 4 \neq -4 $, значит $ x = 4 $ — посторонний корень.
При $ x = -4 $: $ \sqrt{64 - 3(-4)^2} = \sqrt{64 - 3(16)} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4 $. Правая часть: $ -x = -(-4) = 4 $. $ 4 = 4 $, значит $ x = -4 $ — корень уравнения.
Также необходимо учесть, что правая часть уравнения $ -x $ не может быть отрицательной, так как корень из неотрицательного числа неотрицателен. $ -x \ge 0 \implies x \le 0 $. Это условие выполняется только для $ x = -4 $.

Ответ: -4.

7) Найти корень уравнения \( \sqrt{64 - 3x^2} = -x \). (2 балла)