Контрольные задания > №9. Найдите длину отрезка МА, если из точки М к окружности проведены секущие МВ и MD. AB = 2 см, CD = 5 см, MD = 8 см, С-точка пересечения секущей MD с окружностью, А — точка пересечения секущей МВ с окружностью.
Вопрос:

№9. Найдите длину отрезка МА, если из точки М к окружности проведены секущие МВ и MD. AB = 2 см, CD = 5 см, MD = 8 см, С-точка пересечения секущей MD с окружностью, А — точка пересечения секущей МВ с окружностью.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Логика решения: Для решения этой задачи используется свойство секущих, проведенных из одной точки к окружности: произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной (если бы она была проведена) или произведению другой секущей на ее внешнюю часть. Однако, в данном случае, применятся теорема о двух секущих.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: У нас есть точка M и две секущие MBDA и MCD.
  2. Шаг 2: Обозначим длины отрезков: MB = x, MA = MB + AB = x + 2. MC = y, MD = MC + CD = y + 5.
  3. Шаг 3: Из условия задачи известно, что MD = 8 см. Мы можем выразить MC: MC = MD - CD = 8 - 5 = 3 см.
  4. Шаг 4: Применяем теорему о двух секущих, исходящих из одной точки M: \( MA imes MB = MC imes MD \).
  5. Шаг 5: Подставляем известные значения и переменные: \( (x+2) imes x = 3 imes 8 \).
  6. Шаг 6: Получаем квадратное уравнение: \( x^2 + 2x = 24 \).
  7. Шаг 7: Переносим все в одну сторону: \( x^2 + 2x - 24 = 0 \).
  8. Шаг 8: Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-24) = 4 + 96 = 100 \).
  9. Шаг 9: Корни уравнения: \( x_1 = rac{-b + ext{sqrt}(D)}{2a} = rac{-2 + 10}{2} = rac{8}{2} = 4 \) и \( x_2 = rac{-b - ext{sqrt}(D)}{2a} = rac{-2 - 10}{2} = rac{-12}{2} = -6 \).
  10. Шаг 10: Так как длина отрезка не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: \( x = MB = 4 \) см.
  11. Шаг 11: Теперь находим длину отрезка MA: \( MA = MB + AB = 4 ext{ см} + 2 ext{ см} = 6 ext{ см} \).

Ответ: 6 см

ГДЗ по фото 📸

Похожие