8) y = ctg x ⋅ x⁷

Решение:

Здесь нам понадобится правило произведения для нахождения производной: \( (u · v)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = ext{ctg } x \) и \( v = x^7 \).

Найдем производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = ( ext{ctg } x)' = - ext{csc}^2 x \)
• \( v' = (x^7)' = 7x^6 \)

Теперь подставим в формулу произведения:

\( y' = u'v + uv' = (-\text{csc}^2 x) \cdot x^7 + (\text{ctg } x) \cdot (7x^6) \)

\( y' = -x^7 ext{csc}^2 x + 7x^6 ext{ctg } x \).

Можно вынести \( x^6 \) за скобки:

\( y' = x^6(-x ext{csc}^2 x + 7 ext{ctg } x) \).

Ответ: y' = -x⁷ csc² x + 7x⁶ ctg x