11) y = x^10 ⋅ 10^x

Решение:

Это произведение двух функций, поэтому используем правило произведения \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = x^{10} \) и \( v = 10^x \).

Найдем производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = (x^{10})' = 10x^9 \) (по правилу степенной функции)
• \( v' = (10^x)' = 10^x ext{ ln } 10 \) (по правилу производной показательной функции \( (a^x)' = a^x ext{ ln } a \))

Подставим в формулу произведения:

\( y' = u'v + uv' = (10x^9)(10^x) + (x^{10})(10^x ext{ ln } 10) \)

\( y' = 10^{x+1} x^9 + x^{10} 10^x ext{ ln } 10 \).

Можно вынести \( x^9 10^x \) за скобки:

\( y' = x^9 10^x (10 + x ext{ ln } 10) \).

Ответ: y' = 10x⁹ · 10ˣ + x¹⁰ · 10ˣ ln 10