8) (a^n)^2 \(\cdot\) (a^4)^5 = a^{30}

Решение:

1. Упрощаем \( (a^n)^2 \) по свойству \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( a^{n \cdot 2} = a^{2n} \).
2. Упрощаем \( (a^4)^5 \) по свойству \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( a^{4 \cdot 5} = a^{20} \).
3. Левая часть уравнения становится: \( a^{2n} \cdot a^{20} \).
4. Используем свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( a^{2n+20} = a^{30} \).
5. Приравниваем показатели степеней: \( 2n + 20 = 30 \).
6. Решаем уравнение: \( 2n = 30 - 20 \).
7. \( 2n = 10 \).
8. \( n = \frac{10}{2} \).
9. \( n = 5 \).

Ответ: n = 5