15) \(\frac{(a^3)^3}{a^{3n}} = 1\)

Решение:

Используем свойства степеней \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) и \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Также помним, что любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1: \(a^0 = 1\).

1. Преобразуем числитель: \((a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9\).
2. Подставляем в уравнение: \(\frac{a^9}{a^{3n}} = 1\).
3. Упрощаем левую часть: \(a^{9-3n} = 1\).
4. Так как \(1 = a^0\), приравниваем показатели степеней: \(9 - 3n = 0\).
5. Решаем уравнение относительно \(n\): \(3n = 9\), \(n = \frac{9}{3} = 3\).

Ответ: \(n = 3\).