13) \(\frac{(a^5)^3 \cdot a^5}{a^{2n}} = a^{16}\)

Решение:

Используем свойства степеней \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\), \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).

1. Преобразуем числитель: \((a^5)^3 \cdot a^5 = a^{5 \cdot 3} \cdot a^5 = a^{15} \cdot a^5 = a^{15+5} = a^{20}\).
2. Подставляем в уравнение: \(\frac{a^{20}}{a^{2n}} = a^{16}\).
3. Упрощаем левую часть: \(a^{20-2n} = a^{16}\).
4. Приравниваем показатели степеней: \(20 - 2n = 16\).
5. Решаем уравнение относительно \(n\): \(2n = 20 - 16 = 4\), \(n = \frac{4}{2} = 2\).

Ответ: \(n = 2\).