7) \( (a^3)^4 \cdot \frac{a^n}{a^5} = a^{15} \)

Решение:

1. Упрощаем \( (a^3)^4 \) по свойству \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( a^{3 \cdot 4} = a^{12} \).
2. Левая часть уравнения становится: \( a^{12} \cdot \frac{a^n}{a^5} \).
3. Используем свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( a^{12} \cdot a^{n-5} \).
4. Используем свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( a^{12 + (n-5)} = a^{12+n-5} = a^{7+n} \).
5. Получаем равенство: \( a^{7+n} = a^{15} \).
6. Приравниваем показатели степеней: \( 7 + n = 15 \).
7. Решаем уравнение: \( n = 15 - 7 \).
8. \( n = 8 \).

Ответ: n = 8