787. Найдите корни уравнения: 9) x/(x+7) + (x+7)/(x-7) = (63-5x)/(x^2-49)

Решение:

Чтобы найти корни уравнения \( \frac{x}{x+7} + \frac{x+7}{x-7} = \frac{63-5x}{x^2-49} \), нужно:

1. Разложить знаменатель правой части на множители: \( x^2-49 = (x-7)(x+7) \).
2. Привести все дроби к общему знаменателю \( (x-7)(x+7) \):

   \[ \frac{x(x-7)}{(x+7)(x-7)} + \frac{(x+7)(x+7)}{(x-7)(x+7)} = \frac{63-5x}{(x-7)(x+7)} \]

3. Перенести все члены уравнения в одну сторону:

   \[ \frac{x(x-7) + (x+7)^2 - (63-5x)}{(x-7)(x+7)} = 0 \]

4. Раскрыть скобки и упростить числитель:

   \[ \frac{x^2 - 7x + (x^2 + 14x + 49) - 63 + 5x}{(x-7)(x+7)} = 0 \]
   \[ \frac{x^2 - 7x + x^2 + 14x + 49 - 63 + 5x}{(x-7)(x+7)} = 0 \]
   \[ \frac{2x^2 + 12x - 14}{(x-7)(x+7)} = 0 \]

5. Приравнять числитель к нулю и найти корни, исключая значения, обращающие знаменатель в ноль (x ≠ 7, x ≠ -7):

   \( 2x^2 + 12x - 14 = 0 \)
   \( x^2 + 6x - 7 = 0 \)

   Найдем дискриминант: \( D = 6^2 - 4 × 1 × (-7) = 36 + 28 = 64 \)
   \( \sqrt{D} = 8 \)

   Найдем корни:

   \[ x_1 = \frac{-6 + 8}{2 × 1} = \frac{2}{2} = 1 \]
   \[ x_2 = \frac{-6 - 8}{2 × 1} = \frac{-14}{2} = -7 \]

   Корень \( x=-7 \) обращает знаменатель в ноль, поэтому он не является решением уравнения. Единственный корень — \( x = 1 \).

Ответ: x = 1