787. Найдите корни уравнения: 6) 1/x - 10/(x^2-5x) = (3-x)/(x-5)

Решение:

Чтобы найти корни уравнения \( \frac{1}{x} - \frac{10}{x^2-5x} = \frac{3-x}{x-5} \), нужно:

1. Разложить знаменатели на множители: \( x^2-5x = x(x-5) \).
2. Привести все дроби к общему знаменателю \( x(x-5) \):

   \[ \frac{1(x-5)}{x(x-5)} - \frac{10}{x(x-5)} = \frac{(3-x)x}{x(x-5)} \]

3. Перенести все члены уравнения в одну сторону:

   \[ \frac{x-5 - 10 - x(3-x)}{x(x-5)} = 0 \]
   \[ \frac{x-5 - 10 - 3x + x^2}{x(x-5)} = 0 \]
   \[ \frac{x^2 - 2x - 15}{x(x-5)} = 0 \]

4. Приравнять числитель к нулю и найти корни, исключая значения, обращающие знаменатель в ноль (x ≠ 0, x ≠ 5):

   \( x^2 - 2x - 15 = 0 \)

   Найдем дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 × 1 × (-15) = 4 + 60 = 64 \)
   \( \sqrt{D} = 8 \)

   Найдем корни:

   \[ x_1 = \frac{2 + 8}{2 × 1} = \frac{10}{2} = 5 \]
   \[ x_2 = \frac{2 - 8}{2 × 1} = \frac{-6}{2} = -3 \]

   Корень \( x=5 \) обращает знаменатель в ноль, поэтому он не является решением уравнения. Единственный корень — \( x = -3 \).

Ответ: x = -3