787. Найдите корни уравнения: 7) 4x/(x^2+4x+4) - (x-2)/(x^2+2x) = 1/x

Решение:

Чтобы найти корни уравнения \( \frac{4x}{x^2+4x+4} - \frac{x-2}{x^2+2x} = \frac{1}{x} \), нужно:

1. Разложить знаменатели на множители: \( x^2+4x+4 = (x+2)^2 \), \( x^2+2x = x(x+2) \).
2. Привести все дроби к общему знаменателю \( x(x+2)^2 \):

   \[ \frac{4x × x}{(x+2)^2 × x} - \frac{(x-2) × (x+2)}{x(x+2) × (x+2)} = \frac{1 × (x+2)^2}{x × (x+2)^2} \]
   \[ \frac{4x^2}{x(x+2)^2} - \frac{x^2 - 4}{x(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 4}{x(x+2)^2} \]

3. Перенести все члены уравнения в одну сторону:

   \[ \frac{4x^2 - (x^2 - 4) - (x^2 + 4x + 4)}{x(x+2)^2} = 0 \]

4. Раскрыть скобки и упростить числитель:

   \[ \frac{4x^2 - x^2 + 4 - x^2 - 4x - 4}{x(x+2)^2} = 0 \]
   \[ \frac{2x^2 - 4x}{x(x+2)^2} = 0 \]

5. Приравнять числитель к нулю и найти корни, исключая значения, обращающие знаменатель в ноль (x ≠ 0, x ≠ -2):

   \( 2x^2 - 4x = 0 \)
   \[ 2x(x - 2) = 0 \]

   Корни: \( x=0 \) и \( x=2 \).

   Корень \( x=0 \) обращает знаменатель в ноль, поэтому он не является решением уравнения. Единственный корень — \( x = 2 \).

Ответ: x = 2