787. Найдите корни уравнения: 10) 4/(x^2-10x+25) - 1/(x+5) = 10/(x^2-25)

Решение:

Чтобы найти корни уравнения \( \frac{4}{x^2-10x+25} - \frac{1}{x+5} = \frac{10}{x^2-25} \), нужно:

1. Разложить знаменатели на множители: \( x^2-10x+25 = (x-5)^2 \), \( x^2-25 = (x-5)(x+5) \).
2. Привести все дроби к общему знаменателю \( (x-5)^2(x+5) \):

   \[ \frac{4(x+5)}{(x-5)^2(x+5)} - \frac{1(x-5)^2}{(x+5)(x-5)^2} = \frac{10(x-5)}{(x-5)^2(x+5)} \]

3. Перенести все члены уравнения в одну сторону:

   \[ \frac{4(x+5) - (x-5)^2 - 10(x-5)}{(x-5)^2(x+5)} = 0 \]

4. Раскрыть скобки и упростить числитель:

   \[ \frac{4x+20 - (x^2 - 10x + 25) - (10x-50)}{(x-5)^2(x+5)} = 0 \]
   \[ \frac{4x+20 - x^2 + 10x - 25 - 10x+50}{(x-5)^2(x+5)} = 0 \]
   \[ \frac{-x^2 + 4x + 45}{(x-5)^2(x+5)} = 0 \]

5. Приравнять числитель к нулю и найти корни, исключая значения, обращающие знаменатель в ноль (x ≠ 5, x ≠ -5):

   \( -x^2 + 4x + 45 = 0 \)
   \( x^2 - 4x - 45 = 0 \)

   Найдем дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 × 1 × (-45) = 16 + 180 = 196 \)
   \( \sqrt{D} = 14 \)

   Найдем корни:

   \[ x_1 = \frac{4 + 14}{2 × 1} = \frac{18}{2} = 9 \]
   \[ x_2 = \frac{4 - 14}{2 × 1} = \frac{-10}{2} = -5 \]

   Корень \( x=-5 \) обращает знаменатель в ноль, поэтому он не является решением уравнения. Единственный корень — \( x = 9 \).

Ответ: x = 9