787. Найдите корни уравнения: 3) (x-1)/(x+2) + x/(x-2) = 8/(x^2-4)

Решение:

Чтобы найти корни уравнения \( \frac{x-1}{x+2} + \frac{x}{x-2} = \frac{8}{x^2-4} \), нужно:

1. Разложить знаменатель правой части на множители: \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \).
2. Привести все дроби к общему знаменателю \( (x-2)(x+2) \):

   \[ \frac{(x-1)(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{(x-2)(x+2)} \]

3. Перенести все члены уравнения в одну сторону:

   \[ \frac{(x-1)(x-2) + x(x+2) - 8}{(x-2)(x+2)} = 0 \]

4. Раскрыть скобки и упростить числитель:

   \[ \frac{x^2 - 2x - x + 2 + x^2 + 2x - 8}{(x-2)(x+2)} = 0 \]
   \[ \frac{2x^2 - x - 6}{(x-2)(x+2)} = 0 \]

5. Приравнять числитель к нулю и найти корни, исключая значения, обращающие знаменатель в ноль (x ≠ 2, x ≠ -2):

   \( 2x^2 - x - 6 = 0 \)

   Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 × 2 × (-6) = 1 + 48 = 49 \)
   \( \sqrt{D} = 7 \)

   Найдем корни:

   \[ x_1 = \frac{1 + 7}{2 × 2} = \frac{8}{4} = 2 \]
   \[ x_2 = \frac{1 - 7}{2 × 2} = \frac{-6}{4} = -1.5 \]

   Корень \( x=2 \) обращает знаменатель в ноль, поэтому он не является решением уравнения. Единственный корень — \( x = -1.5 \).

Ответ: x = -1.5