75. x^{-2} \(\cdot\) 4^{-3} = \(\left\)\(\frac{1}{4}\right\)^2

Решение:

Упростим правую часть уравнения:

\[ \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16} \]

Запишем \( \frac{1}{16} \) как степень:

\[ \frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2} \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ x^{-2} \cdot 4^{-3} = 4^{-2} \]

Выразим \( x^{-2} \):

\[ x^{-2} = \frac{4^{-2}}{4^{-3}} \]

При делении степеней показатели вычитаются:

\[ x^{-2} = 4^{-2 - (-3)} = 4^{-2 + 3} = 4^1 = 4 \]

Теперь решим уравнение \( x^{-2} = 4 \):

\[ \frac{1}{x^2} = 4 \]

\[ x^2 = \frac{1}{4} \]

\[ x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \]

\[ x = \pm \frac{1}{2} \]

Ответ: x = \( \frac{1}{2} \) или x = \( -\frac{1}{2} \)