7. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Решение:

Пусть \( BH \) — высота, проведенная к стороне \( AC \), а \( CK \) — высота, проведенная к стороне \( AB \). Точка их пересечения — \( M \).

В треугольнике \( BKC \), \( \angle BKC = 90^{\circ} \). \( \angle KBC = \angle ABC \). \( \angle KCB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ} - \angle ABC \).

В треугольнике \( BHC \), \( \angle BHC = 90^{\circ} \). \( \angle HBC = \angle ABC \). \( \angle HCB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ} - \angle ABC \).

Рассмотрим четырехугольник \( AKMH \). \( \angle AKM = 90^{\circ} \), \( \angle AH M = 90^{\circ} \). Сумма углов четырехугольника равна \( 360^{\circ} \). \( \angle KAH + \angle AKM + \angle KMH + \angle MH A = 360^{\circ} \).

\( \angle BAC + 90^{\circ} + \angle KMH + 90^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( \angle KMH = 180^{\circ} - \angle BAC \).

Углы \( \angle KMH \) и \( \angle BMC \) вертикальные, поэтому \( \angle BMC = \angle KMH \).

Из условия \( \angle BMC = 140^{\circ} \). Следовательно, \( \angle KMH = 140^{\circ} \).

\( 140^{\circ} = 180^{\circ} - \angle BAC \).

\( \angle BAC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).

Так как треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС, то \( \angle ABC = \angle ACB \).

Сумма углов треугольника \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).

\( 40^{\circ} + 2 \angle ABC = 180^{\circ} \).

\( 2 \angle ABC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).

\( \angle ABC = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).

Итак, \( \angle ACB = 70^{\circ} \).

Ответ: \( \angle BAC = 40^{\circ} \), \( \angle ABC = 70^{\circ} \), \( \angle ACB = 70^{\circ} \).