7. Докажите, что при любом значении р уравнение x² + px + p - 3 = 0 имеет два корня.

Решение:

Квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \) имеет два корня, если его дискриминант \( D > 0 \).
В нашем уравнении \( x^2 + px + p - 3 = 0 \):

• \( a = 1 \)
• \( b = p \)
• \( c = p - 3 \)

Вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac \]

\[ D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 3) \]

\[ D = p^2 - 4p + 12 \]

Теперь нам нужно доказать, что \( D > 0 \) при любом значении \( p \).

Рассмотрим выражение для \( D \) как квадратный трёхчлен относительно \( p \): \( p^2 - 4p + 12 \).

Найдем дискриминант этого квадратного трёхчлена (для \( p \)):

\[ D_p = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32 \]

Так как дискриминант \( D_p < 0 \) (отрицательный), а коэффициент при \( p^2 \) (равный 1) положительный, то квадратный трёхчлен \( p^2 - 4p + 12 \) всегда больше нуля при любом значении \( p \).

Иными словами:

\[ p^2 - 4p + 12 = (p^2 - 4p + 4) + 8 = (p-2)^2 + 8 \]

Поскольку \( (p-2)^2 \) всегда больше или равно нулю (\( (p-2)^2 ≥ 0 \)), то \( (p-2)^2 + 8 \) всегда больше нуля (\( (p-2)^2 + 8 ≥ 8 \)).

Таким образом, дискриминант \( D = p^2 - 4p + 12 \) всегда положителен при любом значении \( p \).

Следовательно, уравнение \( x^2 + px + p - 3 = 0 \) имеет два действительных корня при любом значении \( p \).