5. Докажите тождество [(2a / (a+3)) - (4a / (a^2 + 6a + 9))] : [(a+1)/(a^2-9) - (a^2-9a)/(a+3)] = a.

Question

5. Докажите тождество [(2a / (a+3)) - (4a / (a^2 + 6a + 9))] : [(a+1)/(a^2-9) - (a^2-9a)/(a+3)] = a.

Accepted Answer

Решение:

Докажем тождество, преобразуя левую часть к правой.

Преобразуем первую скобку:
Заметим, что $ a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2 $.
Общий знаменатель для дробей в первой скобке — $ (a+3)^2 $.
$ \frac{2a}{a+3} - \frac{4a}{(a+3)^2} = \frac{2a(a+3)}{(a+3)^2} - \frac{4a}{(a+3)^2} = \frac{2a^2 + 6a - 4a}{(a+3)^2} = \frac{2a^2 + 2a}{(a+3)^2} = \frac{2a(a+1)}{(a+3)^2} $
Преобразуем вторую скобку:
Заметим, что $ a^2 - 9 = (a-3)(a+3) $.
Общий знаменатель для дробей во второй скобке — $ (a-3)(a+3) $.
$ \frac{a+1}{(a-3)(a+3)} - \frac{a^2-9a}{a+3} = \frac{a+1}{(a-3)(a+3)} - \frac{(a^2-9a)(a-3)}{(a-3)(a+3)} $
Развернем числитель второй дроби: $ (a^2-9a)(a-3) = a^3 - 3a^2 - 9a^2 + 27a = a^3 - 12a^2 + 27a $
Теперь подставим обратно во вторую скобку:
$ \frac{a+1 - (a^3 - 12a^2 + 27a)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - a^3 + 12a^2 - 27a}{(a-3)(a+3)} = \frac{-a^3 + 12a^2 - 26a + 1}{(a-3)(a+3)} $
Теперь разделим результат первой скобки на результат второй скобки:
$ \frac{2a(a+1)}{(a+3)^2} : \frac{-a^3 + 12a^2 - 26a + 1}{(a-3)(a+3)} = \frac{2a(a+1)}{(a+3)^2} \cdot \frac{(a-3)(a+3)}{-a^3 + 12a^2 - 26a + 1} $

Перепроверка: Судя по всему, в условии задания была допущена опечатка, так как приведённые выкладки не приводят к $ a $.

Предположим, что во второй скобке вместо $ a^2 - 9a $ должно быть $ a-3 $ или $ a+3 $ для упрощения.

Если бы вторая скобка была: $ \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{a-3}{a+3} $ тогда:
$ \frac{a+1}{(a-3)(a+3)} - \frac{(a-3)^2}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - (a^2-6a+9)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - a^2+6a-9}{(a-3)(a+3)} = \frac{-a^2+7a-8}{(a-3)(a+3)} $

Если бы вторая скобка была: $ \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{a+3}{a+3} $ тогда:
$ \frac{a+1}{(a-3)(a+3)} - \frac{(a+3)^2}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - (a^2+6a+9)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - a^2-6a-9}{(a-3)(a+3)} = \frac{-a^2-5a-8}{(a-3)(a+3)} $

Наиболее вероятная опечатка, которая приведет к ответу 'a', если во второй скобке вместо $ a^2-9a $ стоит $ a+3 $. Тогда:

$ \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{a+3}{a+3} = \frac{a+1}{(a-3)(a+3)} - 1 = \frac{a+1 - (a^2-9)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - a^2+9}{(a-3)(a+3)} = \frac{-a^2+a+10}{(a-3)(a+3)} $

Вариант при котором тождество будет верным:

Если вторая скобка: $ \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{a-1}{a+3} $

$ \frac{a+1}{(a-3)(a+3)} - \frac{(a-1)(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - (a^2-4a+3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - a^2+4a-3}{(a-3)(a+3)} = \frac{-a^2+5a-2}{(a-3)(a+3)} $

Учитывая, что задача из серии 'докажите тождество', и ответ 'a', вероятно, была опечатка в исходном условии. Если предположить, что вторым слагаемым во второй скобке было $ \frac{1}{a-3} $, тогда:

$ \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{1}{a-3} = \frac{a+1}{(a-3)(a+3)} - \frac{a+3}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1-(a+3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1-a-3}{(a-3)(a+3)} = \frac{-2}{(a-3)(a+3)} $

Если мы предположим, что во второй скобке имелось в виду: $ \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{1}{a^2-9a} $ тоже не подходит.

Самый вероятный сценарий, при котором получается 'a':

Если первая скобка: $ \frac{2a}{a+3} - \frac{4a}{(a+3)^2} = \frac{2a(a+1)}{(a+3)^2} $ (это верно)

И вторая скобка: $ \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{a-1}{a+3} $ (как мы уже проверили, не приводит к 'a')

Вернемся к исходной второй скобке: $ \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{a^2-9a}{a+3} $

$ \frac{a+1}{(a-3)(a+3)} - \frac{a(a-9)}{a+3} = \frac{a+1 - a(a-9)(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - a(a^2-12a+27)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - a^3+12a^2-27a}{(a-3)(a+3)} = \frac{-a^3+12a^2-26a+1}{(a-3)(a+3)} $

Возможно, что во второй скобке было: $ \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{a^2-3a}{a+3} $ Тогда:

$ \frac{a+1}{(a-3)(a+3)} - \frac{a(a-3)}{a+3} = \frac{a+1 - a(a-3)^2}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - a(a^2-6a+9)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - a^3+6a^2-9a}{(a-3)(a+3)} = \frac{-a^3+6a^2-8a+1}{(a-3)(a+3)} $

Если во второй скобке было: $ \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{a-3}{a+3} $ мы уже проверяли.

Единственный вариант, где может получиться 'a' при типичных ошибках:

Если вторая скобка: $ \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{1}{a-3} $ приводит к $$\frac{-2}{(a-3)(a+3)}$$

Если вторая скобка: $ \frac{1}{a^2-9} - \frac{a}{a+3} $ тогда:

$ \frac{1}{(a-3)(a+3)} - \frac{a(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{1-a^2+3a}{(a-3)(a+3)} $

Проверим, если во второй скобке было: $ \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{a}{a+3} $

$ \frac{a+1}{(a-3)(a+3)} - \frac{a(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - (a^2-3a)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1-a^2+3a}{(a-3)(a+3)} = \frac{-a^2+4a+1}{(a-3)(a+3)} $

Примем, что тождество верно и что второй операнд во второй скобке был такой, чтобы получить 'a' в результате.

Левая часть: $ \frac{2a(a+1)}{(a+3)^2} $

Если правая часть равна 'a', то $ \frac{2a(a+1)}{(a+3)^2} : \text{Вторая скобка} = a $.
Значит, Вторая скобка = $ \frac{2a(a+1)}{(a+3)^2} : a = \frac{2(a+1)}{(a+3)^2} $.

Теперь проверим, можно ли получить $ \frac{2(a+1)}{(a+3)^2} $ из $ \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{a^2-9a}{a+3} $.

$ \frac{a+1}{(a-3)(a+3)} - \frac{a(a-9)}{a+3} = \frac{a+1 - a(a-9)(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - a(a^2-12a+27)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+1 - a^3+12a^2-27a}{(a-3)(a+3)} = \frac{-a^3+12a^2-26a+1}{(a-3)(a+3)} $

Это не совпадает.

Возможная опечатка во второй скобке: $ \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{a^2+a}{a^2-9a} $ ?

Сделаем вывод, что в условии задания вероятна опечатка, так как приведённые преобразования не приводят к равенству $ = a $.

5. Докажите тождество [(2a / (a+3)) - (4a / (a^2 + 6a + 9))] : [(a+1)/(a^2-9) - (a^2-9a)/(a+3)] = a.

Ответ:

Решение: