6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-x^2-1

Решение:

В задании указана функция \( y=-x^2-1 \). На графике показана площадь, ограниченная этой параболой и осью OX. Однако, парабола \( y=-x^2-1 \) всегда находится ниже оси OX (так как \( -x^2 \) всегда неположительно, а \( -1 \) смещает её ещё ниже). Следовательно, она не может ограничивать площадь с осью OX. Возможно, имелась в виду другая функция или другие границы.

Если предположить, что границы интегрирования \( x=1 \) и \( x=3 \) (как на соседнем графике) и ось OX, то площадь будет:

Формула для площади: \( S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \)

В данном случае \( f(x) = -x^2-1 \), \( a=1 \), \( b=3 \).

Вычисляем интеграл:

\[ S = \int_{1}^{3} |-x^2-1| dx = \int_{1}^{3} (x^2+1) dx \] \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{1}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} + 3 \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) \] \[ S = \left( 9 + 3 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = 12 - \frac{4}{3} = \frac{36-4}{3} = \frac{32}{3} \]