3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-x и y=x+3x

Решение:

В задании указана функция \( y=x^2-x \) и \( y=x+3x \). Предполагается, что вторая функция — это \( y=4x \).

Площадь фигуры, ограниченной параболой \( y=x^2-x \) и прямой \( y=4x \), найдём с помощью определённого интеграла. Сначала найдём точки пересечения этих функций:

\( x^2 - x = 4x \)

\( x^2 - 5x = 0 \)

\( x(x - 5) = 0 \)

Отсюда \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 5 \).

На интервале \( [0, 5] \) прямая \( y=4x \) находится выше параболы \( y=x^2-x \) (проверим при \( x=1 \): \( 4 > 1-1=0 \)).

Формула для площади: \( S = \int_{a}^{b} (f_{верх}(x) - f_{низ}(x)) dx \)

В данном случае \( f_{верх}(x) = 4x \), \( f_{низ}(x) = x^2-x \), \( a=0 \), \( b=5 \).

Вычисляем интеграл:

\[ S = \int_{0}^{5} (4x - (x^2-x)) dx = \int_{0}^{5} (5x - x^2) dx \] \[ S = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{5} \] \[ S = \left( \frac{5(5)^2}{2} - \frac{5^3}{3} \right) - \left( \frac{5(0)^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ S = \frac{125}{2} - \frac{125}{3} = 125 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 125 \left( \frac{3 - 2}{6} \right) = \frac{125}{6} \]