5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x+2 и y=4-x^2

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной прямой \( y=x+2 \) и параболой \( y=4-x^2 \), найдём с помощью определённого интеграла. Сначала найдём точки пересечения этих функций, приравняв их:

\( x + 2 = 4 - x^2 \)

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -1 \) и \( x_1 x_2 = -2 \). Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -2 \).

На интервале \( [-2, 1] \) парабола \( y=4-x^2 \) находится выше прямой \( y=x+2 \) (проверим при \( x=0 \): \( 4 > 2 \)).

Формула для площади: \( S = \int_{a}^{b} (f_{верх}(x) - f_{низ}(x)) dx \)

В данном случае \( f_{верх}(x) = 4-x^2 \), \( f_{низ}(x) = x+2 \), \( a=-2 \), \( b=1 \).

Вычисляем интеграл:

\[ S = \int_{-2}^{1} ((4-x^2) - (x+2)) dx = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx \] \[ S = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} \] \[ S = \left( 2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} \right) \] \[ S = \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( -4 - 2 - \frac{-8}{3} \right) \] \[ S = \left( \frac{12 - 3 - 2}{6} \right) - \left( -6 + \frac{8}{3} \right) = \frac{7}{6} - \left( \frac{-18 + 8}{3} \right) = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) \] \[ S = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7 + 20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5 \]