4.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=4x-x^2-3

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = 4x - x^2 - 3 \) и осью OX, найдём с помощью определённого интеграла. Сначала найдём точки пересечения параболы с осью OX, решив уравнение \( 4x - x^2 - 3 = 0 \) или \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 4 \) и \( x_1 x_2 = 3 \). Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 3 \).

Формула для площади: \( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае \( f(x) = 4x - x^2 - 3 \), \( a=1 \), \( b=3 \). Поскольку парабола направлена вниз, значение интеграла будет положительным.

Вычисляем интеграл:

\[ S = \int_{1}^{3} (4x - x^2 - 3) dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} - 3x \right]_{1}^{3} \] \[ S = \left( 2(3)^2 - \frac{3^3}{3} - 3(3) \right) - \left( 2(1)^2 - \frac{1^3}{3} - 3(1) \right) \] \[ S = \left( 18 - 9 - 9 \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} - 3 \right) = 0 - \left( -1 - \frac{1}{3} \right) = -\left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} \]