2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=4/x

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной гиперболой \( y = \frac{4}{x} \), осью OX и вертикальными линиями \( x=1 \) и \( x=4 \), найдём с помощью определённого интеграла.

Формула для площади: \( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае \( f(x) = \frac{4}{x} \), \( a=1 \), \( b=4 \).

Вычисляем интеграл:

\[ S = \int_{1}^{4} \frac{4}{x} dx = \left[ 4 \ln|x| \right]_{1}^{4} = 4 \ln|4| - 4 \ln|1| \] \[ S = 4 \ln 4 - 4 \cdot 0 = 4 \ln 4 \]

Так как \( \ln 4 = \ln (2^2) = 2 \ln 2 \), то \( S = 4 \cdot 2 \ln 2 = 8 \ln 2 \).