1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=4x-x^2

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = 4x - x^2 \) и осью OX, найдём с помощью определённого интеграла. Сначала найдём точки пересечения параболы с осью OX, решив уравнение \( 4x - x^2 = 0 \):

\( x(4-x) = 0 \)

Отсюда \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 4 \).

Формула для площади: \( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае \( f(x) = 4x - x^2 \), \( a=0 \), \( b=4 \).

Вычисляем интеграл:

\[ S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \left( 2(4)^2 - \frac{4^3}{3} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ S = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) - 0 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \]