531. Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.

Пусть в треугольнике \(ABC\) точка \(P\) лежит на стороне \(BC\), а \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\). Пусть \(K\) — середина отрезка \(AP\).

В векторных обозначениях: \(M=\frac{A+B}{2}\), \(N=\frac{A+C}{2}\), а \(P=(1-t)B+tC\) для некоторого \(t\in[0,1]\).

Тогда

\(K=\frac{A+P}{2}=\frac{1-t}{2}(A+B)+\frac{t}{2}(A+C)=(1-t)M+tN\).

Следовательно, \(K\) лежит на отрезке \(MN\).